1.ボタン2個の方のパネルの配置が「手動配置」に設定されているためです。「横方向整列」にすると自動で調整されると思います。
2.パネルやGUI複合コンポーネントにつきましては、画面編集画面で「自動サイズ設定」にチェックがあれば、ボタン等のサイズが変更された時にパネル等のサイズも自動で調整されますが、その際にボタン等のサイズ変更はメソッド「setPreferredSize(Dimension)」をお使いください。引数のDimensionは寸法格納変数を用いて作成します。これで指定した後、パネル等のサイズが自動で調整されます。修正したサンプルを添付しますのでご確認ください。なお、フレームだけは、サイズの更新に別途メソッドを呼ぶ必要があります。
3.例えば寸法を別ファイルに保存しておいて、起動時にそのファイルを開いてサイズを更新するか、終了時にアプリケーションファイルを上書き保存するなどの工夫が必要です。